Tangente an Funktion



Gib hier deine Funktion ein.
Eingabetipps: Gib als 3*x^2 ein,
als (x+1)/(x-2x^4) und
als 3/5.



Gib hier den Punkt bzw. die x-Koordinate ein, wo du die Tangente bestimmen willst.


Was ist eine Tangente?

Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Legt man zum Beispiel eine Kugel auf ein glattes Brett, so berührt das Brett die Kugel ja nur, schneidet aber nichts aus ihr heraus. Das Brett wäre also eine Tangente an die Kugel.
Hier schnell zwei Beispiele:

Die grüne Gerade ist keine Tangente, da sie den Graphen schneidet, nicht nur berührt. Die rote Gerade ist eine Tangente, da sie den Graphen nur in einem Punkt berührt, ohne ihn zu schneiden.



Vorsicht, Sonderfall: Eine Tangente in einem Wendepunkt durchquert den Funktionsgraphen sehr wohl. Trotzdem ist die rote Gerade offenbar die Tangente im Punkt (0|0), da sie die gleiche Steigung wie die Gerade hat.



Noch zu beachten: Eine Gerade, die in einem Punkt Tangente ist, darf den Graphen in einem anderen Punkt sehr wohl schneiden.

Wieso sucht man Tangenten von Funktionsgraphen?

Findet man eine Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkt, dann kann man sagen, dass der Graph in dem Punkt die gleiche Steigung hat wie die Tangente. Also verwendet man Tangenten oft, um gut über die Steigung eines Funktionsgraphen reden zu können.

Wie kann man eine Tangente berechnen?

Wenn man die Tangente an der Stelle x finden will, tut man drei Sachen:
  • x in die Funktion einsetzen, dann erhält man schon mal den Punkt, an dem die Tangente berührt
  • x in die Ableitung einsetzen, dann erhält man die Steigung m der Tangente
  • m und den obigen Punkt in die Geradengleichung einseten, dann erhält man b.

Kann ich dazu mal ein Beispiel sehen?

Ja, kannst du. So berechnet man die Tangente an die Funktion f(x)=x^3-2x für x=2.
Deine Eingabe: Funktion und Punkt 2
Wert 2 in einsetzen:
( Rechne hoch aus. )
( Multipliziere und )
( addiere und )
Also lautet der Punkt (2|4).
Allgemeine Funktion der Tangenten: y=mx+b mit m Steigung, b y-Achsenabschnitt.
Steigung im Punkt (2|4) berechnen.
Dazu x-Koordinate in die Ableitungsfunktion von einsetzen.
( Ableitung von ) + ( Ableitung von )
Die Ableitung von ist also .
Die Ableitung von ist also
2 in einsetzen:
Wert 2 in einsetzen:
( Rechne hoch aus. )
( Multipliziere und )
( addiere und )
Also Tangente: y=10x+b
b herausfinden: Punkt (2|4) in die Tangente einsetzen.
( Multipliziere und )
( Vertausche beide Seiten der Gleichung. )
( Bringe negativ auf die andere Seite. )
( addiere und )
Also ist der y-Achsenabschnitt gleich -16
Tangente also:

Kann ich noch mehr Beispiele sehen?

Klar, gib deine eigenen Beispiele einfach oben ein und sie werden dir sofort kostenlos genauso ausgerechnet.