曲线讨论


绘制函数曲线


在这里输入你的函数
提示：输入 作为 3*x^2 ,
作为 (x+1)/(x-2x^4) 和
作为 3/5.

什么是函数图像绘制？

函数图像绘制是一种计算，用来求出一个函数的特征点，如函数的零点，y-轴截距， 最大极值点，最小极值点，拐点。

如何求得这些点呢？

通过导数计算。然后将方程、导数等于 0 ：零点就是这些方程的解。 f_f(x)=0. 极值点就或是导数的零点，也就是说 你需要解方程 f_f'(x)=0 来找到最大极值点，最小极值点。（判断极值点是否存在于 导数零点，可以通过符号变化规则判断。）在拐点处，函数的二次导数必须为a 0，因此也是解方程来求拐点 f_f''(x)=0 。

为什么现在很少用到图像绘制？

函数图像绘制目前有些无意义了：我们现在只需要做重复的 点的计算，而不需要思考太多它们的意义。所以可以 让我们思考这些点的含义的练习 在现如今变得更加重要。

我可以看一看例题吗？

当然！让我们一起来看这个函数的图像 f_f(x)=x^3-x 。


Mathepower有这些功能：
这是方程的图像
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  • 零点 在 -1; 0; 1
  • y-轴截距 在 (0|0)
  • 最大和最小极值点 在 (-0.577|0.385); (0.577|-0.385)
  • 拐点 在 (0|0)
Mathepower是这样计算的：

零点：
寻找函数零点 x^3+-1*x
| 分解出来 1*x .
1*(1*x^2+-1)*x=0
(1*x^2+-1)=0| 乘积为0，故有乘数 (1*x^2+-1) 等于零…
1*x^2+-1=0| +1
1*x^2=1| 等式两边开平方。
x=+-*1^0.5
x_1=1^0.5| 提取根 1
1*x_1=1
x_2=-1*1^0.5| 提取根 1
1*x_2=-1
x=0| …或者乘数 x 等于0。
x=0
所以零点是： {-1;0;1}

对称性：
f(x)=x^3+-1*x 是关于原点的点对称。

计算y轴的截距：将0代入方程中
代入 0 到方程 f(x) :
f(0)=0^3+-1*0=0
所以，y轴的截距在 (0|0)

给方程求导 f(x)=x^3+-1*x
将函数 1*x^3+-1*x 求导：
( 后方函数的导数 1*x^3 )  +  ( 后方函数的导数 -1*x )
3*x^2  +  -1
所以 1*x^3+-1*x 的导数是 3*x^2+-1 .
得到一阶导数是 f'(x)=3*x^2+-1

二阶导数，也就是此函数之导数 f'(x)=3*x^2+-1:
将函数 3*x^2+-1 求导：
( 后方函数的导数 3*x^2 )  +  ( 后方函数的导数 -1 )
3*2*x  +  0
所以 3*x^2+-1 的导数是 3*2*x+0 .
导数简化
| 乘 3 以 2
= 3*2*x
二阶导数是 f''(x)=6*x

三阶导数，也就是此函数之导数 f''(x)=6*x:
函数 6*x 的导数是 6
三阶导数是 f'''(x)=6

寻找极值点
我们要找到一阶导数的零点（根）。
寻找函数零点 3*x^2+-1
| +1
3*x^2=1| : 3
1*x^2=0.333| 等式两边开平方。
x=+-*0.333^0.5
x_1=0.333^0.5| 提取根 0.333
1*x_1=0.577
x_2=-1*0.333^0.5| 提取根 0.333
1*x_2=-0.577
极值点可能在 {-0.577;0.577}
将一阶导数的根代入二阶导数：
代入 -0.577 到方程 f''(x) :
f''(-0.577)=6*-0.577=-3.464
-3.464 是小于0的。所以在 -0.577 处有最大值。
代入 -0.577 到方程 f(x) :
f(-0.577)=-0.577^3+-1*-0.577=0.385
最大极值点 (-0.577|0.385)
代入 0.577 到方程 f''(x) :
f''(0.577)=6*0.577=3.464
3.464 是大于0的。所以在 0.577 处存在最小值。
代入 0.577 到方程 f(x) :
f(0.577)=0.577^3+-1*0.577=-0.385
最小极值点 (0.577|-0.385)

寻找拐点
我们要找到二阶导数的根。
寻找函数零点 6*x
| : 6
1*x=0
拐点可能在 {0}
将二阶导数的根代入三阶导数：
三阶导数不含有 x ，所以代入式有 6
6 大于0，在 0 处存在拐点。
代入 0 到方程 f(x) :
f(0)=0^3+-1*0=0
拐点 (0|0)