Du suchst eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: Funktion vom Grad 3 Nullstelle bei 2 Nullstelle bei 4 Wendepunkt bei (1|3)
Mathepower fand folgende Funktion:
![1*f(x)=0.25*x^3+-0.75*x^2+-2.5*x+6](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B-%5B%2A%5B0.25%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B3%5D%5D%5D%5B-%5B%2A%5B0.75%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B2.5%5D%5Bx%5D%5D%5B6%5D%5D%5D%5D) Hier siehst du den Graphen deiner Funktion.
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- Nullstellen bei -3; 2; 4
- y-Achsenabschnitt bei (0|6)
- Hochpunkte, Tiefpunkte bei (-1.082|7.51); (3.082|-1.51)
- Wendepunkte bei (1|3)
So hat Mathepower gerechnet:
![f(x)=1*a*x^3+1*b*x^2+1*c*x+1*d](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5Bx%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D)
![f'(x)=3*a*x^2+2*b*x+1*c](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B3%5D%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5Bx%5D%5B2%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B2%5D%5B%2A%5Bb%5D%5Bx%5D%5D%5D%5Bc%5D%5D%5D)
![f''(x)=6*a*x+2*b](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5Bx%5D%5D%5D%5D%5D%5B%2B%5B%5B6%5D%5B%2A%5Ba%5D%5Bx%5D%5D%5D%5B%5B2%5D%5Bb%5D%5D%5D)
Nullstelle bei 2 liefert Gleichung:
![f(2)=0](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B2%5D%5D%5D%5B0%5D)
![1*a*2^3+1*b*2^2+1*c*2+1*d=0](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B2%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B2%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B2%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B0%5D) vereinfacht: 8a+4b+2c+1d=0
Nullstelle bei 4 liefert Gleichung:
![f(4)=0](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B4%5D%5D%5D%5B0%5D)
![1*a*4^3+1*b*4^2+1*c*4+1*d=0](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B4%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B4%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B4%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B0%5D) vereinfacht: 64a+16b+4c+1d=0
Punkt (1|3) liefert Gleichung:
![f(1)=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%28+%29%5B1%5D%5D%5D%5B3%5D)
![1*a*1^3+1*b*1^2+1*c*1+1*d=3](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%2A%5Ba%5D%5B%5E%5B1%5D%5B3%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bb%5D%5B%5E%5B1%5D%5B2%5D%5D%5D%5B%2B%5B%2A%5Bc%5D%5B1%5D%5D%5Bd%5D%5D%5D%5D%5B3%5D) vereinfacht: 1a+1b+1c+1d=3
Wendepunkt (1|3) liefert Gleichung:
![f''(1)=0](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%5Bf%5D%5B%5B%27%5D%5B%5B%27%5D%5B%28+%29%5B1%5D%5D%5D%5D%5D%5B0%5D)
![6*a*1+2*b=0](glbaumschreiben.php?gle=%3D%5B%2B%5B%5B6%5D%5B%2A%5Ba%5D%5B1%5D%5D%5D%5B%5B2%5D%5Bb%5D%5D%5D%5B0%5D) vereinfacht: 6a+2b+0c+0d=0
Insgesamt erhält man folgendes Gleichungssystem:
8a | +4b | +2c | +d | = | 0 | 64a | +16b | +4c | +d | = | 0 | a | +b | +c | +d | = | 3 | 6a | +2b | | | = | 0 |
So formt man das Gleichungssystem um:
8a | +4b | +2c | +d | = | 0 | 64a | +16b | +4c | +d | = | 0 | a | +b | +c | +d | = | 3 | 6a | +2b | | | = | 0 |
| | 8a | +4b | +2c | +d | = | 0 | 64a | +16b | +4c | +d | = | 0 | a | +b | +c | +d | = | 3 | | -4b | -6c | -6d | = | -18 |
| ( das -6-fache der dritten Zeile wurde zur vierten Zeile addiert )
| 8a | +4b | +2c | +d | = | 0 | 64a | +16b | +4c | +d | = | 0 | | 0,75b | +0,938c | +0,984d | = | 3 | | -4b | -6c | -6d | = | -18 |
| ( das -0,016-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
| 8a | +4b | +2c | +d | = | 0 | | -16b | -12c | -7d | = | 0 | | 0,75b | +0,938c | +0,984d | = | 3 | | -4b | -6c | -6d | = | -18 |
| ( das -8-fache der ersten Zeile wurde zur zweiten Zeile addiert )
| a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 | | -16b | -12c | -7d | = | 0 | | 0,75b | +0,938c | +0,984d | = | 3 | | -4b | -6c | -6d | = | -18 |
| ( die erste Zeile wurde durch 8 geteilt ) | a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 | | -16b | -12c | -7d | = | 0 | | 0,75b | +0,938c | +0,984d | = | 3 | | | -1c | -0,75d | = | -2 |
| ( das 5,333-fache der dritten Zeile wurde zur vierten Zeile addiert )
| a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 | | -16b | -12c | -7d | = | 0 | | | 0,375c | +0,656d | = | 3 | | | -1c | -0,75d | = | -2 |
| ( das 0,047-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert )
| a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 | | b | +0,75c | +0,438d | = | 0 | | | 0,375c | +0,656d | = | 3 | | | -1c | -0,75d | = | -2 |
| ( die zweite Zeile wurde durch -16 geteilt ) | a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 | | b | +0,75c | +0,438d | = | 0 | | | 0,375c | +0,656d | = | 3 | | | | d | = | 6 |
| ( das 2,667-fache der dritten Zeile wurde zur vierten Zeile addiert )
| a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 | | b | +0,75c | +0,438d | = | 0 | | | c | +1,75d | = | 8 | | | | d | = | 6 |
| ( die dritte Zeile wurde durch 0,375 geteilt ) |
dritte Zeile: | | Schon berechnete Variablen einsetzen: | | Nach c freistellen: | c = -2,5 |
zweite Zeile: | | Schon berechnete Variablen einsetzen: | | b | +0,75⋅(-2,5) | +0,438⋅6 | = | 0 |
| Nach b freistellen: | b = -0,75 |
erste Zeile: | a | +0,5b | +0,25c | +0,125d | = | 0 |
| Schon berechnete Variablen einsetzen: | a | +0,5⋅(-0,75) | +0,25⋅(-2,5) | +0,125⋅6 | = | 0 |
| Nach a freistellen: | a = 0,25 |
Einsetzen liefert also, dass die Funktion gleich ist.
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