Risoluzione di equazioni

Come si risolvono le equazioni lineari?

Iniziamo con un esempio:

- + = x +

Per prima cosa si procede semplificando entrambi i membri. Nel membro di sinistra e si possono sommare. Si ottiene così l'equazione:

- = x +

Dopo di che, si riordina l'equazione in modo che l'incognita x è presente solo in uno dei due membri, ad esempio a sinistra, e i termini noti a destra. A destra è presente il termine x. Si possono quindi sotrarre entrambi i membri per x. A sinistra rimane così il termine .

- =

Adesso, si porta il a destra aggiungendo a entrambi i membri . Cosicché si ha + =

=

Infine, si può dividere entrambi i mebri per il coefficiente dell'incognita x:

x =

L'equazione è risolta e la soluzione è .

Si può procedere sempre nello stesso modo: prima si semplificano il più possibile i membri dell'equazione. Poi si procede semplificando in accordo con i principi di equivalenza: sommare o sottrarre abilmente qualcosa in entrambi i membri. Alla fine si dovrebbe ottenere un multiplo dell'incognita in un membro e un termine noto nell'altro. Dividendo per il coefficiente della variabile, si risolve l'equazione.

Come mostra Mathepower le soluzioni?

Una volta inserita la tua equazione, ottieni:

Il tuo esercizio:    Spiegazione dei passaggi: | Sommiamo a | | + | : Insieme delle soluzioni: {}

E se volessi farmi risolvere un'altra equazione?

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Che casi particolari devono essere presi in considerazione quando si risolvono delle equazioni?

I casi particolari più importanti sono quando l'equazione ha infinite soluzioni (indeterminata) o non ne ha alcuna (impossibile)

Vediamo prima il caso di un'equazione indeterminata:

Il tuo esercizio:    Spiegazione dei passaggi: | Si espande e . | Sommiamo a | L'equazione è indeterminata, esistono infinite soluzioni. Insieme delle soluzioni: R

Come si può vedere, lo stesso valore è presente in entrambi i mebri, che è sempre vero indipendentemente dal valore della x (la x non è neanche più presente nell'equazione) In questo modo si vede come un'quazione è sempre verificata, ha cioè un numero infinito di soluzioni.

Cosa significa esattamente che l'equazione ha un infinito numero di soluzioni? Basta fare un tentativo: si sostituisca un numero (ad es. all'interno dell'equazione e si osservi come si ottiene lo stesso valore in entrambi i membri. Questo è valido per ogni valore dato ad x. Il motivo è che i due membri hanno termini equivalenti, cioè termini che danno sempre un risultato uguale per ogni valore di x.


L'altro caso particolare è quello di un'equazione impossibile:

Il tuo esercizio:    Spiegazione dei passaggi: | Sommiamo a | Si espande e . | Sommiamo a | L'equazione è impossibile, non ha alcuna soluzione. Insieme delle soluzioni: {}

Si può qui notare come, dopo aver semplificato e riorganizzato l'equazione, l'incognita x è scomparsa e l'equivalenza rimasta è chiaramente falsa. Questo è dovuto al fatto che già l'equazione di partenza non aveva alcuna soluzione.