A cosa servono le frazioni?
Iniziamo con un esempio: immaginiamo di voler mangiare una torta in quattro persone. Allora quanta torta toccherà ad ognuno? Ciò che bisogna calcolare è
, questo è chiaro. Ma come si ottiene questo risultato? Nella scuola elementare si direbbe che il risultato è
(il quoziente) con resto di
, ma per adesso non ci aiuta. Per questo motivo si crea una nuova cifra indicata con
(leggi: un quarto). Per avere un'idea a che cosa questo valore corrisponda, immaginiamo di prendere una torta e dividerla i
parti uguali.
E cos'è una frazione del genere?
Ciò che abbiamo appena fatto con la torta, si può fare con tutti i numeri. Immagina di dover prendere due numeri naturali e dividerli tra di loro ma da cui non è possibile ottenere un altro numero naturale. Che si fa allora? Si inventa un nuovo numero, risultato di questa frazione. Allora la frazione
non significa altro che il risultato dell'operazione
diviso
. La cifra sopra prende il nome di numeratore e quella sotto denominatore. Nella frazione
,
è il numeratore e
il denominatore.
E come si fanno i calcoli con frazioni del genere?
Per prima cosa bisogna pensare che esistono più frazioni equivalenti, cioè che hanno lo stesso valore. Ad esempio,
=
=
, anche se a prima vista
e
sembrerebbero diverse, ma in fin dei conti hanno lo stesso valore. È chiaro quindi che una frazione si può trasformare in una sua equivalente. Questo procedimento prende il nome di espansione o riduzione di una frazione.
Inoltre, se si vogliono sommare o sottrarre due frazioni, è necessario che i denominatori siano uguali. Ciò è realizzabile calcolando il minimo comune multiplo (mcm) tra i denominatori e trasformare le frazioni in modo tale che abbiamo il mcm al denominatore.
Invece, se si vogliono moltiplicare frazioni, è necessario moltiplicare i numeratori e i denominatori rispettivamente tra di loro. Nel caso della divisone, ci si riconduce al caso della moltiplicazione facendo l'inverso del secondo termine (cioè invertendo numeratore e denominatore della seconda frazione).
Come si chiama l'insieme dei numeri a cui le frazioni (maggiori o minori di zero) appartengono?
L'insieme di numeri prende il nome di insieme dei numeri razionali e si indica con Q.