Cos'è un punto estremante?
Un punto estremante è un punto in cui il grafico della funzione assume il valore massimo o minimo in un intorno del punto, rispettivamente chiamati massimo e minimo locale. Però, non è detto che i punti estremati di una funzione siano i suoi valori assoluti di massimo o di minimo.
Il grafico della funzione ha nel punto (0|-3) un massimo locale, ma assume ad esempio nel punto (2|5) un valore maggiore. Un punto di massimo non deve essere allora il valore maggiore che la funzione assume nel suo dominio, ma lo deve essere solo localmente, cioè se in un suo intorno non ci sono valori maggiori.
Come si trovano i punti estremanti?
Poiché in un punto estremante la retta tangente è orizzontale,
cioè con pendenza nulla, allora l'idea di base è la seguente:
- trovare un modo per calcolare la pendenza delle tangenti, cioè con l'aiuto della derivata.
- Di conseguenza si può trovare quando la pendenza è uguale a
, ed eventualmente se corrisponde a un punto estremante.
In parole semplici basta trovare gli zeri della derivata della funzione.
Quando la pendenza della retta tangente è nulla si tratta sempre di un punto estremante?
No. Se la tangente ha una pendenza uguale
, si può avere un punto di massimo, come visto prima,
oppure un punto di flesso orizzontale, che non è né un minimo né un massimo. Esso è chiamato anche semplicemente punto di flesso. Poiché la pendenza della fuzione in uno di questi punti è nulla, questi tre punti vengono anche chiamati punti stazionari.
È necessario che la pendenza in un punto sia sempre nulla per avere un punto estremante?
Esatto. Ma il viceversa non vale: si dice che la pendenza della tangente uguale a
è una condizione necessaria ma non sufficiente per un punto estremante.
Assumendo che la pendenza sia nulla, come capisco se ho un punto di massimo, di minimo o di flesso (punto stazionario)?
Con l'uso de metodo delle derivate successive questo è possibile.
In un esercizio devo calcolare i punti stazionari di una funzione ma non so come procedere. Come posso fare?
Inserisci pure il tuo esercizio qui sopra e lascia che Mathepower lo risolva mostrandoti spiegazioni e passaggi intermedi.